世界上到底有沒有保證贏錢的賭法？利用統計，讓數字說話！
《統計，讓數字說話！》用許許多多的生活實例，把最重要的概念解釋得清清楚楚。不管是學生還是社會人士，閱讀後都能正確解讀數字，聽懂數字所說的話。本文以賭博為例，為讀者解開「機率致富」的真相。
1. 問題的本質：我們究竟在賭什麼？
對機遇結果下注賭博，這種事從古至今從未消失過。
在美國早期，公家和私人的彩券都很普遍。政府經營的賭博在消失了大約一個世紀之後，於 1964 年重現江湖——新罕布夏州提出一種彩券，以不加稅的方法提高公共收益，造成了一股狂熱。但在一些較大的州都採用這種概念以後，狂熱迅速消退。
現在，全美共有 42 個州以及加拿大所有的省份發行樂透彩。州彩券因為把賭博「包裝成娛樂」而被大眾接受；美國 50 州當中，有 48 州允許某種形式的合法賭博。所有美國成年人當中，超過一半曾經合法賭博。他們花在賭博上的錢，甚至超過了花在觀賞運動比賽、玩電動遊戲、主題樂園和電影票的總和。
如果你要賭的話，應該要了解怎樣賭比較劃算。我們不僅在意賭贏的機率，更在意「機能贏多少」。
2. 期望值（Expected Value）：長期結果的數學核心
什麼是期望值？
期望值的定義：它是可能結果的一種加權平均。在計算平均時，機率較大的結果占的比重較高。
期望值代表了：如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的「長期平均」。
這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是長期累積下來的平均數。
3. 大數法則（Law of Large Numbers）：賭場穩賺不賠的祕密
大數法則（Law of Large Numbers）與機率的概念密切相關。
在許多次獨立的重複當中：
- 每個可能結果發生的比例，會越來越接近它的理論機率。
- 獲得的平均結果，會越來越接近期望值。
這些事實表達了機遇事件的「長期規律性」，也就是真正的「平均數定律」。
為什麼賭場不是在「賭博」？
大數法則完美解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是一門穩賺不賠的生意。
- 對玩家而言：單次結果充滿隨機性與不確定性，充滿刺激感。
- 對賭場而言：大量的賭客投注，賭客贏錢的平均金額會極度接近預期的期望值。
賭場經營者事先就算好了期望值（包含「賭場優勢 House Edge」），並且知道長期下來收入會是多少，所以不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。賭場只要花精神提供廉價的餐飲娛樂和方便的交通工具，讓顧客川流不息地進場下注就行了。
只要下注的總次數夠多，大數法則就能為賭場保證龐大的利潤。
4. 深入探討期望值與賭博迷思
跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。
4.1 多大的數才算是「大數」？
大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，實際平均結果會愈來愈接近期望值。但是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗才能達到這個效果。
這點取決於隨機結果的變異性（Variance）：
- 變異性極大的賭博（例如累積彩金數額極大、但極不可能中獎的州彩券）：需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果接近期望值。註：州政府不需要依賴大數法則保證不虧損，因為彩券採用的是「同注分彩系統」（Parimutuel system）。彩金和賠率是由實際下注金額決定的（扣除政府抽成後剩餘的錢才分給中獎者），賭馬亦同。
- 變異性較小的賭博（例如輪盤、輪盤紅黑、百家樂）：結果變異較小，較快展現出期望值的趨勢。
賭場 vs. 玩家的數學宿命
- 賭場的算計：賭場贏錢金額的期望值是正的（$> 0$），而且賭場發生的總次數足夠多，因此可以穩穩賺錢。
- 玩家的困境：玩家贏錢金額的期望值是負的（$< 0$）。全體賭客玩的總次數雖然和賭場一樣多，但因為玩家整體期望值為負，長期下來玩家整體必定輸錢。
當然，輸的金額並非由賭客均攤：有些人幸運贏了大錢，有些人輸光家產，有些人則平手離場。賭博帶給人的誘惑，來自於個人單次結果的不可預測；而賭博這門生意仰賴的，則是對賭場而言結果是完全可預測的。
4.2 倍賭法（馬丁格爾策略）真能保證贏錢嗎？
把賭博很當回事的賭客，經常會嘗試某種「注碼控制策略」。其中最著名的就是「馬丁格爾策略」（Martingale Strategy，俗稱加倍下注法）。
什麼是「倍賭法」？
以賭輪盤輸贏各 $50\%$（先忽略綠色 $0$ 的賭場優勢）為例：
- 第一把押 $100，如果贏了，淨賺 $100，重新開始。
- 如果輸了，第二把下注加倍變成 $200。
- 如果又輸了，第三把再加倍變成 $400……
- 只要贏了一把，就能一次收回前面所有的虧損，並額外淨賺最初的 $100 賭注。
這套方法看起來完美無缺，似乎想利用「玩家有記憶與策略」這件事來戰勝沒有記憶的輪盤。
為什麼這個賭法終究會崩潰？
你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？答案是：絕對不行！
數學家建立的另一種大數法則與概率理論（如無窮毀滅定理 Gambler’s Ruin）指出：
- 賭本有限（Finite Capital）：加倍下注的金額呈指數型成長（$100 $\rightarrow$ $200 $\rightarrow$ $400 $\rightarrow$ $800 $\rightarrow$ $1,600 $\rightarrow$ $3,200 $\rightarrow$ $6,400……）。只要遇到連續幾把連輸（這在統計上必然會發生），你的賭本就會瞬間見底，無法進行下一局加倍下注。
- 賭場下注上限（Table Limit）：為了防止極少數擁有超大資金的玩家，賭場設有「單局下注上限」。這斷絕了無限加倍救回本金的可能性。
- 期望值不變定理：只要遊戲的各次試驗（例如輪盤的每一次轉動）之間是相互獨立的，且每一局的期望值為負，那麼無論你採用何種下注策略組合，你長期的平均獲利（期望值）依然是負數。
抱歉啦！數學規律是無法被套利策略打破的。
5. 結語：數學早已寫好結局
世界上到底有沒有保證贏錢的賭法？
- 對玩家來說：不存在保證贏錢的賭法。因為在期望值為負、賭本有限、且下注獨立的前提下，統計學的大數法則終將把你拉回「負期望值」的宿命裡。
- 對賭場來說：「開賭場」本身就是世界上唯一保證贏錢的賭法。
當你了解了統計與機率，聽懂了數字所說的話，就會明白：不賭，才是唯一能贏的選擇。
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